正交特徵分解

譜定理有一張具體的矩陣面孔。當算子擁有標準正交特徵基時，把這些特徵向量作為矩陣 Q 的列堆起來，就得到一個酉矩陣（實情形下為正交矩陣），算子分解為 A = Q D Q^*。這裡 D 是特徵值的對角矩陣，Q^* 是共軛轉置。實對稱情形寫作 A = Q D Q^T，Q 正交，於是 Q^*、Q^-1、Q^T 三者重合。

把這個分解從右往左讀，就是一次視角變換。Q^* 把向量旋轉到特徵坐標，D 按各自的特徵值縮放每個坐標，Q 再旋轉回去。由於 Q 是酉的，它保持所有長度和角度——沒有剪切、沒有畸變，只有一次剛性旋轉、一次乾淨拉伸、再一次旋轉回來。這正是正交特徵分解數值穩定的原因：酉因子從不放大誤差，條件數保持在最佳。

與第一卷中一般的特徵分解 A = S D S^-1 對照，那裡 S 僅僅可逆。S 可以極度歪斜，S^-1 可以巨大，故分解可能不穩定且幾何上晦澀。正交版本是金標準，恰在 A 正規時獲得：特徵向量矩陣是一次旋轉，其逆就是它的伴隨（可免費計算），而譜分解 A = sum lambda_i q_i q_i^* 直接從各列讀出。