同時譜分解

一個自伴或正規算子得到單獨一組標準正交特徵基。一個自然的問題是：何時兩個這樣的算子能共享一組基？答案乾淨得令人稱心：一族正規算子可被同時酉對角化，當且僅當它們兩兩交換。交換恰是唯一的障礙；別無他物擋路。

具體地說，若 S、T 正規且 S T = T S，則存在單獨一組標準正交基 q_1, ..., q_n，使兩者同時對角：每個 q_i 同時是 S 和 T 的特徵向量。直覺在於交換的算子彼此保持對方的特徵子空間——T 把 S 的每個特徵子空間映入自身——所以你可一次只把 T 限制在 S 的一個特徵子空間上、在那裡對角化它，而不擾動 S。如此迭代細化基，直到兩者都完全對角。

現在每個共享特徵向量帶有一對特徵值，(來自 S 的 lambda, 來自 T 的 mu)，這些數對的集合就是聯合譜。這是一個深刻想法的線性代數種子：一族交換的可觀測量可被同時測量，因為它們共享本徵態——這正是量子力學中相容測量的數學核心。它也解釋了為何函數 f(T) 總與 T 交換（它們共享基），並支撐著正規算子換位子的結構。