正規算子的換位子

給定算子 T，一個自然的對象是它的換位子：與它交換的所有算子 S 的集合，即 S T = T S。這個集合是一個代數（對加法、乘法、數乘封閉），而對正規算子，譜定理精確描述了它。其結構完全由特徵值如何聚集所決定。

在使 T = sum lambda_i P_i 對角的標準正交特徵基中工作。算子 S 與 T 交換，恰當 S 保持 T 的每個特徵子空間：對每個 i，S 把 lambda_i 的特徵子空間映入自身。在特徵基下這意味著 S 是分塊對角的，每個相異特徵值有一個自由塊，塊的大小等於該特徵值的重數。不同塊之間沒有約束，但塊外的一切都必須為零。所以換位子是若干滿矩陣代數的直和，每個相異特徵值一個。

兩個極端使圖景具體。若 T 的特徵值全相異，每塊都是 1×1，於是換位子只含在同一組基下為對角的算子——而這些恰是函數演算中形如 f(T) 的算子。若 T 是恆等的標量倍（單個特徵值且重數滿），則只有一個塊，一切都與 T 交換。因此換位子的大小度量了譜的簡併程度：重複特徵值越多，交換的自由度越大，而塊結構恰好跟隨譜分解。