函數演算

一旦能把算子對角化，你能做的就遠不止加法和乘法——你可以把它餵給一個函數。想法樸素得令人吃驚：若 T 把特徵方向 q_i 按 lambda_i 縮放，那麼 T 的函數 f 就應把同一方向按 f(lambda_i) 縮放。函數演算把這件事說精確。給定譜分解 T = sum lambda_i P_i，定義 f(T) = sum f(lambda_i) P_i。你只需把 f 作用在每個特徵值上，投影保持不變。

這一個定義統一了你曾零散見過的一堆構造。多項式吻合顯然的含義：若 f(x) = x^2 則 f(T) = T^2。取 f(x) = 1/x（當 0 不是特徵值時有定義）給出 T^-1。在正算子上取 f(x) = sqrt(x) 給出平方根。取 f(x) = exp(x) 給出矩陣指數 exp(T)，線性微分方程的引擎。所有這些都是同一條規則：f 逐個特徵值作用。

有兩點使它嚴格且行為良好。其一，它只需 f 在 T 的譜上有定義，而譜是一個有限數集——所以即便 f 在別處行為狂野也無妨。其二，由於各 P_i 是和為 I 的正交投影，映射 f -> f(T) 尊重加法和乘法：(f g)(T) = f(T) g(T)，且 f(T) 與 T 交換。對自伴 T 配實值 f，結果自伴；對一般正規 T，任意複值 f 都可作用在其複譜上。