譜定理與正定性

數的正性意味著落在零的右邊。譜定理讓你把這個想法提升到算子上，且行為同樣乾淨。當對每個向量 v 都有 <Tv, v> >= 0 時，自伴算子 T 稱為正（更準確地說，半正定）。從幾何上看，T 從不把向量指回它自身的反向：輸出沿輸入方向總有非負分量。

譜定理把這個分析條件化為關於譜的透明陳述。自伴算子為正當且僅當它的所有特徵值非負；嚴格為正（正定）恰當所有特徵值嚴格大於 0。理由從瑞利商立即可見：<Tv, v> / <v, v> 遍歷 [lambda_min, lambda_max]，故二次型保持非負恰當 lambda_min >= 0。算子的正性就是其譜的正性，僅此而已。

這一刻畫是通往整套工具的門戶。由於每個特徵值都是非負實數，函數演算可以施加那些只在 [0, 無窮) 上有意義的函數——最重要的是 sqrt，給出唯一的正平方根。它還解釋了為何 Gram 矩陣 A^* A 總是正的（其特徵值是奇異值的平方）、為何協方差矩陣是正的、以及為何正性在合同變換下保持。正算子是非負數的算子類比，而譜正是使這個類比精確的東西。