瑞利商

特徵值通常通過解特徵方程求得，但對自伴算子，有一個靈活得多的把手：一個對任意非零向量都能算出的數。向量 v 的瑞利商是 R(v) = <Tv, v> / <v, v>。從幾何上看，它度量 T 把 v 沿 v 自身方向拉伸了多少，並經歸一化使得縮放 v 不改變答案。

對自伴 T，關鍵事實如下。瑞利商總是實數，且當 v 遍歷所有非零向量時，R(v) 恰好遍歷區間 [lambda_min, lambda_max]，從最小特徵值到最大特徵值。端點恰在對應的特徵向量處取得：R(v) 在最大特徵向量處取最大、在最小特徵向量處取最小。於是特徵值不再是多項式的根，而成了一個優化問題的極值。

這個變分視角極其有用。它把特徵值估計變成了對一個光滑函數求極大或極小，數值方法可直接進攻（冪迭代及其改進都源於此）。它也讓界變得容易：代入任意試探向量 v，立刻知道 lambda_min <= R(v) <= lambda_max，無需對角化。它還是完整極小極大定理的種子，該定理把這個想法從兩個極端特徵值推廣到中間的每一個特徵值。