庫朗-菲舍爾極小極大定理

瑞利商把最大和最小特徵值釘為一個 max 和一個 min。庫朗-菲舍爾定理則補全圖景，為中間的每一個特徵值給出它自己的變分公式。訣竅是不在整個空間、而在選定維數的子空間上優化瑞利商，再對挑哪個子空間做一次優化。

把自伴 T 的特徵值排序為 lambda_1 >= lambda_2 >= ... >= lambda_n。第 k 個特徵值是極小極大 lambda_k = 在所有 (n-k+1) 維子空間 W 上取 min，其中對每個 W 取 [ 在 W 中非零 v 上 R(v) 的 max ]。還有一個鏡像的極大極小形式：lambda_k = 在所有 k 維子空間 U 上取 max，其中對每個 U 取 [ 在 U 中非零 v 上 R(v) 的 min ]。無論哪種，你掃遍各子空間，在每個內部取一個極端瑞利商，再對所有子空間取相反的極端。最優子空間由相應的特徵向量張成。

其威力在於它刻畫 lambda_k 時根本不提及其他特徵向量——只用到維數和內積。這使它成為比較不同算子譜的標準工具。它立刻導出和的外爾不等式、主子矩陣的柯西交錯定理，以及單調性結果：若在正定序下 T <= S，則對每個 k 有 lambda_k(T) <= lambda_k(S)。數值線性代數中許多擾動界離庫朗-菲舍爾只有一兩行之遙。