正平方根

每個非負數恰有一個非負平方根。譜定理把同樣的特權賦予算子。若 T 是正算子，則有且僅有一個正算子 S 滿足 S^2 = T，記作 S = sqrt(T) 或 T^(1/2)。其構造就是把函數演算施於函數 f(x) = sqrt(x)：取譜分解 T = sum lambda_i P_i，令 sqrt(T) = sum sqrt(lambda_i) P_i。

這之所以成立，恰因 T 為正：每個 lambda_i >= 0，故 sqrt(lambda_i) 是真正的非負實數，投影則保持不變。結果自伴（實特徵值）、正（非負特徵值）、與 T 交換，且平方回到 T。在正算子中的唯一性是微妙而重要之處：平方等於 T 的算子有許多（特徵值任意取符號，或取非自伴的根），但其中只有一個本身是正的。

正平方根是兩個頭牌分解背後默默無聞的主力。在極分解中，每個算子 A 分解為 A = U P，其中 U 是部分等距，P = sqrt(A^* A) 是 A^* A 的正平方根——這是把複數寫成（模）（相位）的算子類比。而 A 的奇異值恰是 P 的特徵值，這正是 SVD 與 A^* A 的譜定理為同一結構的兩種視角的原因。每當你需要對一個正變換乾淨地走半步時，這就是工具。