譜映射定理

如果說函數演算告訴你如何造出 f(T)，那麼譜映射定理告訴你它的特徵值是什麼——而答案正如你所願。f(T) 的譜（特徵值集合）是 T 的譜在 f 下的像。緊湊地寫：spectrum(f(T)) = f(spectrum(T))。函數以最簡單的方式搬運特徵值，逐點施加 f。

這從譜分解看幾乎是顯然的，但仍值得明說，因為它省去大量工作。若 T 有特徵值 2 和 -3，則 T^2 有特徵值 4 和 9，exp(T) 有特徵值 exp(2) 和 exp(-3)，(T - I)^-1 有特徵值 1 和 -1/4。你永遠無需重新計算特徵多項式；只需把舊特徵值推過 f。特徵向量絲毫不動，動的只是它們的標籤。

定理還帶來乾淨的結構性推論。T 可逆當且僅當 0 不在其譜中，這正是 f(x) = 1/x 恰在此時被允許的原因。T^k 的譜半徑（最大 |特徵值|）是 T 譜半徑的 k 次方。基於特徵值的判據也得以轉移：自伴 T 為正當且僅當其譜落在 [0, 無窮) 中，故其平方根 sqrt(T) 的譜是那些值的 sqrt，仍非負。在有限維下，證明從 f(T) = sum f(lambda_i) P_i 一行可得；同樣的命題經小心處理後可延伸到無限維空間上的有界算子。