由譜得到的正交投影

譜分解給每個特徵值指派一個正交投影 P_i。值得把這些投影當作獨立的對象來審視，因為它們是算子理論中最深刻想法之一——投影值測度——的有限維種子。投影 P_i 是到 lambda_i 特徵子空間的正交投影；它回答的問題是：任意向量有多少住在那個特徵子空間裡。

把譜想像成一個微小的測度空間。對單個特徵值，你指派它的投影 P_i；對一組特徵值，你指派對應投影之和。這個指派的行為恰如一個測度，只是取值是投影而非數：它在不相交集上可加（並集的 P 是各部分之和，因為投影互相正交），空集映為 0，整個譜映為恆等 I（恆等的分解）。算子本身由把恆等函數對這個測度積分而復原：T = sum lambda_i P_i。

在有限維下這只是譜分解的記帳，但它的推廣蔚為壯觀。對無限維 Hilbert 空間上的自伴算子，譜可以是一個連續統，根本沒有特徵向量，而和 T = sum lambda_i P_i 變成對一個真正的投影值測度的積分 T = integral lambda dP(lambda)。那個積分形式才是泛函分析的真正譜定理，也是量子可觀測量的嚴格基礎。一切都從這些有限維譜投影開始。