極小多項式與特徵多項式
分裂域
特徵值是特徵多項式的根，但根未必活在你起步的域裡。實矩陣 [0, -1; 1, 0]（90 度旋轉）的特徵多項式是 x^2 + 1，它沒有實根——所以在 R 上這個算子根本沒有特徵值。要找到它們，你必須擴大域。分裂域是使 chi(x) 完全分解為線性因子的最小域擴張。
具體地說，給定域 F 上的 chi(x)，它的分裂域是包含 F 及全部根 lambda_1, ..., lambda_n 的最小域，使得在那裡 chi(x) = (x - lambda_1)...(x - lambda_n)。對上面的旋轉，分裂域是 C，其中 x^2 + 1 = (x - i)(x + i)，特徵值 i 與 -i 終於現身。
何必如此？若干定理只有在特徵多項式分裂後才被點亮。一個域上的三角化要求 chi 在那裡分裂（舒爾定理需要 C，或任意代數閉域）；計入重數存在 n 個特徵值需要分裂；約當形正是因此才是代數閉域上的定理。過渡到分裂域是使這些工具可用的標準動作。
一個誠實的注意點：擴大域是一次真正的換景，並非免費。一個在 R 上不可約的實算子可能有成對共軛出現的複特徵值，而實標準形（實約當形、有理標準形）的存在恰是為了在你必須時把你留在本域裡。分裂域是完全可對角化或可三角化的代價。
A = [0, -1; 1, 0] over R, chi(x) = x^2 + 1
over R: irreducible, no eigenvalues
over C (the splitting field): x^2 + 1 = (x - i)(x + i), eigenvalues i, -i
旋轉沒有實特徵值；只有過渡到它的分裂域 C 後，特徵多項式才分裂、特徵值才出現。
在像 C 這樣的代數閉域上每個多項式本就分裂，故分裂域就是該域本身——這正是複線性代數順暢得多的原因。極小多項式在小域上可能保持不可約，卻在其分裂域上裂開。
又稱
另見