特徵多項式（算子）

在第一卷裡你把矩陣的特徵多項式算作 det(xI - A)。隱患在於 A 活在座標裡——那麼這個多項式是否暗中依賴於你恰好選的基呢？令人安心的是，並不依賴。相似矩陣有相同的特徵多項式，因此該公式繫於算子 T 本身，而非它的某個特定矩陣。

無座標地定義 chi_T(x) = det(xI - T)，其中 det 是算子的無座標行列式。它是次數恰為 n = dim V 的首一多項式。計入重數，它的根就是 T 的特徵值。從它的係數裡還白白掉出兩樣東西：x^(n-1) 的係數是跡的相反數，常數項是 (-1)^n det(T)。

它之所以重要，是因為它製造特徵值。令 chi_T(x) = 0 即特徵方程，求解它便是求譜的方式。在像 C 這樣的代數閉域上，它總能完全分解為線性因子 (x - lambda_1)...(x - lambda_n)，所以算子計入重數總有 n 個特徵值——此處根的重數即代數重數。

一個誠實的局限：特徵多項式知道特徵值及其代數重數，卻可能在算子更精細的結構上被矇蔽。矩陣 [2, 1; 0, 2] 與 2I 共有 chi(x) = (x-2)^2，行為卻截然不同。要看穿這一點你需要極小多項式，這正是這兩者結伴同行的原因。