極小多項式與特徵多項式
凱萊-哈密頓定理
這是線性代數中一個偉大的驚喜。取一個算子 T，寫下它的特徵多項式 chi(x) = det(xI - T)，然後——不是把某個數代入 x——而是把算子 T 自身代進去。凱莱-哈密頓定理說你總會得到零：chi(T) = 0。每個算子都滿足自己的特徵方程。
有一個著名的錯誤「證明」：「只要把 T 代入 chi(x) = det(xI - T)，得到 det(TI - T) = det(0) = 0。」這是胡說，因為 det(xI - T) 是數 x 的純量值函數，而 chi(T) 是一個算子；你不能把矩陣塞進原本放純量的位置。真正的證明用伴隨恆等式 (xI - T) adj(xI - T) = chi(x) I 並比對兩邊的多項式係數，或訴諸可對角化矩陣的稠密性。
最有用的單條推論是：極小多項式整除特徵多項式。凱莱-哈密頓遞給你一個次數為 n 的顯式零化多項式，即 chi；既然極小多項式整除每一個零化多項式，它就整除 chi。再加上二者共根這一事實，便把極小多項式擠進一個小而可算的候選集合裡。
實用上，凱莱-哈密頓讓你把 T 的任何高次冪降為次數低於 n 的多項式：用 chi(T) = 0 把 T^n 重寫為更低次冪，再遞迴。它是計算 T^k、矩陣指數，以及——當 T 可逆時——甚至把 T^-1 表示為 T 的多項式的引擎。
A = [1, 1; 0, 1], chi(x) = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1
Check: A^2 - 2A + I = [1, 2; 0, 1] - [2, 2; 0, 2] + [1, 0; 0, 1] = [0, 0; 0, 0]
把 A 代入它自己的特徵多項式得到零矩陣，恰如凱莱-哈密頓所許諾。
凱莱-哈密頓定理在任意交換環上成立，不限於域，且簡潔的伴隨證明在那裡同樣有效。它並不斷言 chi 就是極小多項式——只說 chi 零化 T，故極小多項式整除它。
又稱
另見