由凱萊-哈密頓求逆

這是凱莱-哈密頓的一個利落推論：當算子 A 可逆時，它的逆是 A 的多項式。你根本無需離開由 A 生成的代數就能找到 A^-1——它一直藏在那裡，可用你正在求逆的那同一個矩陣表達出來。

把特徵多項式寫作 chi(x) = x^n + c_(n-1) x^(n-1) + ... + c_1 x + c_0。凱莱-哈密頓給出 A^n + c_(n-1) A^(n-1) + ... + c_1 A + c_0 I = 0。常數項 c_0 等於 (-1)^n det(A)，它非零當且僅當 A 可逆。從除常數項外的所有項中提出一個 A 並重排：A 乘以 ( -(1/c_0)(A^(n-1) + ... + c_1 I) ) = I，故 A^-1 = -(1/c_0)(A^(n-1) + c_(n-1) A^(n-2) + ... + c_1 I)。

慢慢讀這個公式：A^-1 是 I, A, A^2, ..., A^(n-1) 的一個特定線性組合。可逆條件 c_0 != 0 與 det(A) != 0 相同，故此構造恰在逆應當存在時成功。你甚至可用極小多項式代替 chi 得到一個次數更低、更便宜的公式，只要其常數項非零（這同樣意味著 0 不是特徵值）。

除了是個巧妙的把戲，它在理論上也重要：它證明 A^-1 與一切和 A 交換的對象交換（因為它是 A 的多項式），它表明逆住在交換代數 F[A] 之中，它還支撐符號與精確算術的求逆。數值上它很差——高斯消元穩定得多——但作為結構它是黃金。