極小多項式與特徵多項式
極小多項式
取有限維空間上的一個算子 T，把它逐次餵進冪：T，再 T^2，再 T^3，依此類推。由於全體算子構成的空間本身是有限維的，這些冪不可能永遠保持線性無關——終會有某個組合 c_0 I + c_1 T + ... + c_k T^k 等於零算子。極小多項式正是其中最簡單的那條關係：使 m(T) = 0 成立的、次數最低的首一多項式 m(x)。
精確地說，m(x) 是滿足 m(T) = 0 的、次數最小的唯一首一多項式。「首一」指最高次係數為 1，這樣就釘死了唯一的代表（否則你可把任意零化多項式隨意縮放）。它的關鍵性質是：m(x) 整除每一個滿足 p(T) = 0 的多項式 p(x)。所以它不只是眾多零化多項式中的一員——它是透過整除關係統御其餘所有的那一個。
為何在意它？極小多項式是算子代數行為的完整指紋。它的根恰是特徵值；這些根是否重複就告訴你 T 是否可對角化；它的次數限定了 T 能有多複雜。兩個相似的算子擁有相同的極小多項式，因此它是無需選座標即可讀出的相似不變量。
一個值得記住的注意點：極小多項式的次數可以比特徵多項式更小。對 n 維空間上的恆等算子 I，特徵多項式是 (x-1)^n，但極小多項式僅為 x-1，因為 I - I = 0 早已成立。極小多項式丟棄了膨脹的重數，只留下算子真正需要的部分。
A = [2, 1; 0, 2]: char poly = (x-2)^2, min poly = (x-2)^2
B = [2, 0; 0, 2]: char poly = (x-2)^2, min poly = (x-2)
兩個特徵多項式相同的矩陣。A 是單個約當塊（虧損的），故其極小多項式保留平方；B 本就是 2I，故其極小多項式降為一次。特徵多項式看不出的差別，極小多項式看得見。
極小多項式整除特徵多項式（凱萊-哈密頓定理的推論），且二者有相同的根集——但重數可以不同。在兩者中，極小多項式是更溫和、更精簡的那份記錄。
又稱
另見