極小多項式與特徵多項式
極小多項式可對角化判據
這是迄今發現的最乾淨的可對角化判據：算子 T 可對角化當且僅當它的極小多項式分解為相異的線性因子——即 m(x) = (x - lambda_1)(x - lambda_2)...(x - lambda_k)，所有 lambda_i 互不相同且無重根。平方因子正是確切的障礙。
直觀上，極小多項式中的重複因子 (x - lambda)^2 表明某個向量要被 (T - lambda I) 擊中兩次才消亡——這是一個並非誠實特徵向量的廣義特徵向量。這恰是約當塊內部的剪切，對角矩陣做不到的事。沒有重複因子意味著每個向量都分解為真正的特徵向量，這就是可對角化性。
證明為何成立：若 m 有相異根，則因子 (x - lambda_i) 兩兩互素，故由準素分解空間裂為各個 (T - lambda_i I) 的核，每個都是普通的特徵子空間；把它們的基拼起來便得特徵基。反過來，若 T 在相異特徵值 lambda_i 下可對角化，則 prod (x - lambda_i) 已零化 T，故極小多項式整除它，從而也只有相異的線性根。
與第一卷的判據（數特徵向量並檢查幾何重數之和是否為 n）相比，這往往更快也更乾淨：你算出一個多項式並檢視它是否有重根。一個順手的特例：任何有 n 個相異特徵值的算子自動可對角化，因為此時 chi 本身已有相異根，逼得 m 也如此。
A = [2, 0; 0, 5]: m(x) = (x-2)(x-5) -> distinct -> diagonalizable
B = [2, 1; 0, 2]: m(x) = (x-2)^2 -> repeated -> NOT diagonalizable
直接從極小多項式讀出可對角化性：A 是相異線性因子，虧損的 B 是平方因子。
把同一想法推廣：T 是半單的當且僅當其極小多項式無平方因子（即相異不可約因子之積，未必為線性）。在代數閉域上，半單與可對角化重合，因為此時一切不可約因子都是線性的。
又稱
另見