互素分解與中國剩餘定理

當 T 的極小多項式分解為彼此無公因子的片段時，整個空間 V 便沿這些片段裂開。這是中國剩餘定理的算子論面孔：m(x) 的互素因子把 V 裂為不變子空間的直和，每個因子一塊。

具體地，設 m(x) = f(x) g(x) 且 f 與 g 互素（gcd(f, g) = 1）。則 V = ker f(T) (+) ker g(T)，是 T-不變子空間的直和。其機制是裴蜀恆等式：互素給出多項式 a, b 使 a f + b g = 1，故對任意 v 有 v = a(T) f(T) v + b(T) g(T) v，且這兩部分分別落入 ker g(T) 與 ker f(T)——一個由 T 的多項式構造的顯式分裂。

把它在完整分解 m(x) = p_1(x)^e_1 ... p_k(x)^e_k（分解為互素的素冪）上迭代，便得準素分解：V = (+) ker p_i(T)^e_i，當 p_i 為線性時每個被加項就是廣義特徵子空間。T 限制到第 i 個被加項上的極小多項式恰是 p_i^e_i，於是算子解耦為可逐一分析的獨立、更簡單的片段。

這是其後一切的結構主力。可對角化性（相異線性因子 -> 每塊是純量塊）、約當形（C 上的線性因子，每塊是冪零加純量），以及冪零加半單分解，全都源於按極小多項式的互素因子裂分 V。代數（分解一個多項式）化為幾何（裂分一個空間）。