插值與譜投影

設 T 可對角化，具相異特徵值 lambda_1, ..., lambda_k。我們很想為每個特徵值造一個算子 P_i，沿其餘特徵子空間投影到它的特徵子空間上。值得注意的是，你可以把每個 P_i 顯式寫成 T 的多項式——而其配方正是經典的拉格朗日插值，從數搬到了算子上。

回憶拉格朗日基多項式 L_i(x) = prod_(j != i) (x - lambda_j) / (lambda_i - lambda_j)。它被造得滿足 L_i(lambda_i) = 1 且 L_i(lambda_j) = 0（j != i）。現在在算子處求值：令 P_i = L_i(T)。因為多項式按其在每個特徵值處的取值作用於相應的特徵向量，P_i 在 lambda_i-特徵子空間上作用為 1，在其餘每個特徵子空間上為 0——恰是譜投影。

這些投影白白滿足譜恆等式：它們是冪等的（P_i^2 = P_i），作為算子兩兩正交（i != j 時 P_i P_j = 0），且加起來為恆等（sum P_i = I，這正是插值陳述 sum L_i(x) = 1）。此外 T 自身重建為 T = sum lambda_i P_i——譜分解——而 T 的任意函數 f 都成為 f(T) = sum f(lambda_i) P_i。

為何這很美：它表明譜投影並非外加在 T 上的額外數據，而是住在代數 F[T] 之內；它們是算子的多項式。它還給出可對角化算子擁有乾淨函數演算的一個利落、無需計算的證明，並且可推廣——對不可對角化的 T，埃爾米特插值（同時匹配導數）產生投影外加冪零部分。