直和

直和是一種拆分毫不含糊的子空間之和。當 V = U + W 且 U ∩ W = {0} 時，我們記 V = U ⊕ W，並稱之為直（內）和。交集為零正是關鍵所在：它迫使 V 中每個向量 v 只有唯一一種分解 v = u + w（u 屬於 U，w 屬於 W）。沒有向量能在兩部分間挪移，於是這兩個子空間成為 V 真正獨立的座標。

還有第二種外在的風味。給定任意兩個空間 U 與 W——未必住在同一個 V 之內——你可以構建一個全新的有序對空間 U ⊕ W，元素為 (u, w)，按分量相加與縮放。這正是 R^2 字面上等於 R ⊕ R 的方式。內在與外在版本在典範同構意義下一致：內在的 V = U ⊕ W 經 v = u + w <-> (u, w) 與外在的對空間同構。一種視角分解你已有的空間；另一種從部件組裝一個新空間。

直和是把一個困難問題拆成若干獨立的簡單問題的最乾淨方式。若算子 T 在 V = U ⊕ W 中同時保持 U 與 W，則 T 分裂為對各部分的限制，其矩陣成為塊對角的。特徵子空間分解、準素分解，乃至最終的約當理論與譜理論，都是把 V 寫成直和、讓算子逐塊作用的故事。

對三個或更多加項而言，交集為零的條件比看上去更微妙。V = U_1 ⊕ U_2 ⊕ U_3 並不僅因這些空間兩兩交於 {0} 就得到保證；你需要每個 U_i 與其餘之和交於 {0}，等價地零向量只有全零分解。兩兩獨立嚴格弱於聯合獨立——一個值得記住的陷阱。