子空間之和

給定 V 的兩個子空間 U 與 W，它們的和 U + W 是一切能寫成 u + w（u 屬於 U，w 屬於 W）的向量構成的集合。直觀上你把兩個子空間倒進同一個房間，讓它們借加法自由混合。與聯集不同——聯集參差不齊且通常對加法不封閉——和自動是一個子空間，事實上是同時含住 U 與 W 的最小子空間。

「最小含住」這一描述是更乾淨的定義：U + W 是一切含 U 與 W 的子空間之交集，等價地是 U 連同 W 的張成。寫明白即 U + W = {u + w : u 屬於 U, w 屬於 W}。兩種描述一致，無論哪種你都得到一個對加法與縮放封閉的真子空間，作為它們的並位於子空間格中 U 與 W 之上。

標誌性結果是維數公式：dim(U + W) = dim U + dim W - dim(U ∩ W)。你把兩個維數相加，再減去被重複計數的重疊部分。若 R^3 中兩個平面交於一條直線，則和的維數為 2 + 2 - 1 = 3——它填滿整個 R^3。此公式是容斥原理在線性代數中的迴響，也是通往直和的門戶——在直和中重疊被迫為零。

一處值得尊重的微妙：表示 u + w 一般並不唯一。U + W 中的同一個向量能以多種方式拆成 u + w，恰恰發生在 U ∩ W 非平凡之時——重疊中的任何向量都可在兩部分之間挪移。要求拆分唯一，正是把普通的和提升為直和的那一額外條件。