子空間格

把空間 V 的全體子空間收進一個結構，並按包含關係排序：U <= W 意為 U 落在 W 之內。最小的子空間是 {0}，最大的是 V 本身，二者之間嵌套著由直線、平面與超平面織成的豐富網絡。這個有序集合就是子空間格——一個捕捉 V 各部分如何拼合的單一對象。

格是這樣一種有序集：其中任意兩元都有一個最大下界（它們的交）與一個最小上界（它們的並）。對子空間而言，U 與 W 的交是它們的交集 U ∩ W——同時落在兩者之內的最大子空間。它們的並是它們的和 U + W——同時含住兩者的最小子空間。於是交集與求和並非任意運算，而是彼此對偶的格交與格並。

深刻之處在於這個格是模的：每當 U <= W，模律 U + (X ∩ W) = (U + X) ∩ W 對一切 X 成立。這一個恆等式正是維數公式 dim(U + W) = dim U + dim W - dim(U ∩ W) 背後的引擎，並解釋了子空間為何如此乾淨地咬合。不過這個格並非分配的——這恰是為何兩條不同直線與第三條直線會讓樸素的集合式代數失靈。

為何要關心整個格，而不逐個看子空間？因為許多問題實質關乎關係：V 何時是若干部分的直和、哪些子空間在某算子下不變、各特徵子空間彼此如何安放。以格為先的思考，把一堆零散的包含關係換成一個你能作為整體來推理的有組織結構。