補子空間

U 在 V 中的一個補是另一個子空間 W，它與 U 配對以直接填滿整個空間：V = U ⊕ W。具體地，W 須滿足 U + W = V 且 U ∩ W = {0}。你可以把 U 想成一個選定的過原點的平面，W 想成任何不在該平面內的過原點直線——二者合起來重建整個空間，毫無冗餘。

令人安心的定理是：補總是存在（在有限維中，一般情形借佐恩引理）：取 U 的任意一組基，把它擴張為 V 的一組基，則新增的基向量張成一個補。所以沒有子空間會「卡住」——總有一個夥伴把它補成直和。這是使抽象線性代數遠比例如模論順滑的幾個沉默主力之一——在模論中補可能不存在。

關鍵的微妙之處在於不唯一。一個子空間有許多個補，而非一個。R^2 中的 x 軸可由 y 軸來補，但同樣可由直線 y = x、或 y = 2x、或除 x 軸本身外任何過原點的直線來補。不存在典範的補；選一個是一次真正的選擇。唯一被迫定下的是補的維數：dim W = dim V - dim U 恆成立，儘管 W 本身並不被確定。

補與投影是同一份資料。每個分解 V = U ⊕ W 給出一個沿 W 到 U 的投影 P（把 u + w 送到 u），而每個投影都以這種方式由它的像與核而來。所以「選一個補」與「選一個到 U 的投影」是同一動作的兩種說法。這本字典正是為何補悄然支撐著最小二乘、條件期望，以及一切你把向量拆成「所求」與「棄去」兩部分之處。