商空間

商空間 V/U 是當你決定不再區分相差一個 U 中元素的向量時所得到的東西。選定一個要「忽略」的子空間 U；然後規定：只要兩個向量之差落在 U 中，就宣布它們相等。由此被認同的向量團塊就是 V/U 的元素。粗略地說，你把整個 U 壓縮成一個點——新的零——而 V/U 只記錄在那次壓縮中倖存的資訊。

V/U 的每個元素是一個陪集 v + U = {v + u : u 屬於 U}，即從 v 出發在 U 內滑動所能到達的全體向量之集。陪集上的加法與縮放以顯然方式定義——(v + U) + (w + U) = (v + w) + U 且 a*(v + U) = (a*v) + U——奇蹟在於它們良定義：答案不依賴你從陪集中抓取哪個代表元 v。配上這些運算，V/U 本身就是一個真正的向量空間。

維數的記帳既乾淨又好記：dim(V/U) = dim V - dim U。壓縮一個 d 維子空間恰好移除 d 個維數。若 V 是 R^3 而 U 是過原點的一個平面，則 V/U 是一維的——它只記錄「我在哪個平行平面上」，而拋棄了每個平面內的一切運動。商保留橫截於 U 的方向，遺忘其餘。

為何用商而不直接選一個補？因為商是典範的——它無需任何選擇——而補是無窮多個中的一個。V/U 與 U 的任何補同構，但它不偏袒其中之一，這使它成為給出乾淨定理的正確工具。第一同構定理 V/ker(T) 同構於 im(T)，正是商發揮價值之處：它把秩-零化度定理從維數計數變為結構性陳述。