半單算子

半單算子是一種在域允許的範圍內分裂得最徹底的算子：它的每一個不變子空間都配有一個不變補。沒有任何東西被困住而無路可逃——只要 T 保持某個子空間，你就能剝出一塊相配的不變片來約化。這就是所謂的完全可約性。

在複數上方便的判別：半單與可對角化完全相同。在代數閉域上兩個概念重合。在一般域上它們分道揚鑣——半單才是正確的、忠於域的概念，因為一個算子可以拆不到一維塊卻仍然拆到了塊（半單）。等價地，T 半單當且僅當它的極小多項式無平方因子（是不同既約式之積）。

半單性恰是約當-謝瓦萊分解所分離出的障礙：T = S + N，其中 S 是半單部分，N 度量 T 偏離半單有多遠。T 半單當且僅當 N = 0。一個實例：90 度旋轉 [0, -1; 1, 0] 在 R 上是半單的（極小多項式 x^2 + 1 既約，故無平方因子），儘管它在 R 上不可對角化。