不變子空間與三角化
約當-謝瓦萊分解
約當形把算子化成幾乎對角的塊，超對角線上帶一些 1。約當-謝瓦萊分解是它無座標的精煉：它把 T 乾淨地拆成一個本質上可對角化的部分加一個冪零部分，T = S + N，兩部分彼此配合而非互相干擾。
確切地說，在完美域上（如 C、R 或任何特徵零的域），存在半單算子 S 和冪零算子 N，使 T = S + N 且 SN = NS。可交換這一條至關重要——正是它讓這個分裂有意義且唯一。S 和 N 都是 T 的多項式，因此它們自動保持每一個 T 不變子空間。
唯一性是頭條：恰好只有這樣一對。你由準素分解把它造出來——在每個廣義特徵空間上 S 作為純量 lambda 起作用，N = T - lambda I 是冪零的。回報在於計算：因為 S 與 N 交換，exp(T) = exp(S) exp(N)，而 exp(N) 是有限多項式（因 N 冪零）。這是求解線性常微分方程組的標準路線，也是代數群理論的根基。
[5,1;0,5] = [5,0;0,5] + [0,1;0,0] = S + N, SN = NS, N^2 = 0
S 是純量（半單）部分，N 是冪零部分；它們交換，故指數給出 exp(S)(I + N)。
對可逆的 T 還有一個乘性版本：T = S_s * U，S_s 半單、U 么冪（U - I 冪零）、且 S_s U = U S_s——這是代數群理論裡用的形式。
又稱
另見