菲廷分解

取任意算子 T 並不斷迭代它。像越縮越小，ker(T) 含於 ker(T^2) 含於 ... 越長越大，im(T) 包含 im(T^2) 包含 ... 越縮越小。在有限維裡兩條鏈都必定穩定：過了某個冪 n 後兩者都不再變化。菲廷的想法就是用這些最終穩定下來的片段來分裂 V。

令 n = dim V。設 K = ker(T^n)，即最終核；I = im(T^n)，即最終像。菲廷引理說 V = K (+) I，二者都在 T 下不變，T 限制到 K 上是冪零的（它終將殺死 K 中一切），T 限制到 I 上是可逆的。所以每個算子都精確地是：在互補的不變子空間上，一個冪零部分加一個可逆部分。

這是剝離冪零性最乾淨、最不依賴域的辦法——不用特徵值，不用因式分解多項式，只用穩定的核與像。把它用到 T - lambda I 而非 T 上，最終核就成了 lambda 的廣義特徵空間，於是在每個特徵值處做菲廷正是準素分解的引擎。它也驅動約當-謝瓦萊分裂：K 承載半單部分為純量 lambda、N 非平凡的那一塊。