可三角化性

一個算子是可三角化的，如果你能找到一組基，使它的矩陣成為上三角——所有動作都落在對角線上或其上方，下方什麼也沒有。這比可對角化更弱、更容易達到，後者堅持要求對角線外的一切都消失。

乾淨的判據是：T 在某個域上可三角化，當且僅當它的特徵多項式在該域上分裂為一次因子之積。在複數上每個多項式都分裂，所以每個複算子都可三角化——這就是去掉酉精化的舒爾定理。在實數上則可能失敗：旋轉 90 度的特徵多項式是 x^2 + 1，它不分裂，事實上它不固定任何直線，所以不存在三角形。

三角形已經夠用於出人意料地多的事。對角元是帶代數重數的特徵值，於是你立刻讀出行列式（它們的積）和跡（它們的和），冪和矩陣指數也變得可算。它沒給你、而對角化會給你的，是各塊的獨立性——嚴格上三角部分仍把座標耦合在一起。