舒爾分解

舒爾定理是矩陣論裡默默無聞的主力：任何複方陣 A 都能透過一次正交規範的基變換化為上三角矩陣。沒有哪個矩陣太狂野——你也許不能把它對角化，卻總能把它三角化，而且能用酉矩陣來做，那是數值上最溫和的基變換。

形式地說，對任意 A 屬於 C^(n x n)，存在酉矩陣 Q（即 Q^* Q = I）和上三角矩陣 T，使 A = Q T Q^*。T 的對角元就是 A 的特徵值，次序隨你安排酉矩陣而定。證明每次剝下一個特徵向量，做正交規範化，再對更小的塊遞迴——無非是不變性加 Gram-Schmidt。

為何重要：因為 Q 是酉的，這個變換條件完美，所以數值演算法（QR 演算法）實際計算的是舒爾形，而非約當形。約當形精確卻不連續、對捨入誤差不穩定；舒爾形穩定，且幾乎一樣有用。當 A 是正規的（A A^* = A^* A）時，三角的 T 其實是對角的——那個特例正是譜定理。