旗

旗是一座層層嵌套的子空間塔，每一層都嚴格含在下一層裡：{0} = V0 含於 V1 含於 V2 含於 ... 含於 Vn = V，當旗完備時每一步恰好增加一維。想像一連串越來越大的嵌套房間，最小的是一個點，最大的是整個空間。

如果塔的每一層都是不變子空間，旗就是 T 不變的：對所有 i 都有 T(Vi) 包含於 Vi。這一條嵌套鏈就是三角形的幾何內涵。選一組基，使前 j 個向量張成 Vj；那麼因為 T 把 Vj 推進 Vj，T 的矩陣在對角線以下沒有元素——它是上三角的。

所以把算子三角化和找一面完備的不變旗是同一件事，只是用矩陣語言還是子空間語言來說。這個視角推廣得極漂亮：在李理論裡，所有完備旗的集合是旗流形，而 Borel 子群恰是旗的穩定子。三角矩陣的對角元是 T 在相繼的一維商空間 Vi / V(i-1) 上作用的特徵值。