同時三角化

一組基，多個算子，同時全部三角。一族算子是可同時三角化的，如果存在 V 的單獨一組基，使族中每個算子在其下都呈上三角矩陣。你用一次座標變換把它們全部三角化，而非各自來一次。

幾何上這意味著整族算子共享一面完備的不變旗：一條嵌套鏈 {0} 含於 V1 含於 ... 含於 Vn = V，每個 Vi 同時被每個算子保持不變。單算子情形裡的旗圖景原封不動地搬到族上——找到共享的旗就是找到那組基。

頭條定理針對可交換算子：代數閉域上任何可交換的算子族都能同時三角化。證明從公共特徵向量起步（可交換算子總共享一個），過渡到商空間，再遞迴。更一般地，McCoy 定理透過對換位子的多項式條件刻畫可同時三角化性，而 Lie 定理把這一想法推廣到可解李代數。注意同時三角化迫使所有算子的特徵值以一致次序排到共享的對角線上，但它並不使它們可同時對角化——那是嚴格更強的要求，還需每個算子各自可對角化。