公共不變子空間

現在想像的不是一個算子，而是一整族算子——V 上的一個算子集合 S。公共不變子空間是這樣一個子空間 W，S 的每個成員都同時讓它不變：對 S 中每個 A 都有 A(W) 包含於 W。它是所有算子同時尊重的同一個子空間。

找到公共不變子空間是開啟同時約化的鑰匙。如果一族算子共享一個非平凡的真公共不變子空間，你就能在一組共用的基裡把它們全部化為分塊三角；如果不存在這樣的子空間，這族就稱為不可約。這一對照框出了核心問題：一族算子何時必有這樣一個子空間？

Burnside 定理在複數上給出最深刻的答案：一族算子是不可約的（除 {0} 和 V 外沒有公共不變子空間）當且僅當它張成 V 上全部算子構成的整個代數。所以擁有公共不變子空間，等同於沒能生成一切——共享結構意味著這族在代數上是小的。對於可交換族，故事更乾淨：它們總至少共享一個公共特徵向量，這為同時三角化埋下種子。