不變子空間格

把 V 的每一個 T 不變子空間都收進一個集合，記作 Lat T。它不只是一張清單——它有結構：給定兩個不變子空間，它們的交和它們的和仍然不變。所以 Lat T 是一個格，按包含關係排序，交（meet）= 交集、並（join）= 和，底是 {0}、頂是 V。

這個格的形狀是算子的指紋。純量算子（T = c I）最狂野：每個子空間都不變，所以 Lat T 是完整的子空間格。另一極端，單個約當塊最溫順：它的不變子空間構成一條單鏈，每維一個，全序排列。特徵值互異的可對角化算子居中，由 k 條特徵直線生出含 2^k 個子空間的布林格。

出人意料的是：在結構意義上，不可對角化算子的格更豐富、更有趣，而非更貧乏。一個冪零約當塊把它的不變子空間逼成一條剛性的單鏈，編碼了整個約當結構。抽象地研究 Lat T 是通往無窮維中著名不變子空間問題的門徑——希爾伯特空間上每個有界算子是否都有非平凡的閉不變子空間？在 C 上的有限維裡，由舒爾定理，答案總是肯定的。