實約當形

約當形需要複數，但我們關心的許多矩陣是實的，並且我們想要一組實基。實約當形給出答案：一個分塊對角的實矩陣，在實數域上相似於 A，用普通約當塊處理實特徵值，用 2x2 的旋轉-縮放塊處理共軛複特徵值對。

對實特徵值 lambda，用通常的實約當塊。對一對複特徵值 lambda = a + i b 及其共軛 a - i b（實矩陣中它們總是成對出現），把對角線上每個純量 lambda 換成 2x2 實塊 C = [a, -b; b, a]，把複塊超對角線上的 1 換成 2x2 單位陣 I_2。結果是一個實矩陣，它把一個複約當塊連同其共軛一併刻畫。

塊 C = [a, -b; b, a] 恰好是複數 a + i b 的乘法，寫在實基 {1, i} 下：它按 lambda 的輻角旋轉，並按 |lambda| 縮放。所以實約當形把幾何顯示出來——螺旋與旋轉——而無需離開實數。

當你必須停留在實數時就用它：具振盪解的實線性 ODE 系統 x' = A x、實動力系統、控制論。複約當形與實約當形攜帶相同的資訊；實的那個把複特徵向量換成了貨真價實的實二維不變平面。