譜序列

譜序列是一種分階段、逐次逼近地計算困難同調的方法。設想沖洗一張照片：模糊的初像經過一連串處理逐漸變清晰，每一遍都修正前一遍，直到穩定為真實的圖像。譜序列對同調而言恰是這樣一個過程——一系列「頁」，每一頁都取作上一頁的同調，整個序列收斂到你真正想要的答案。

形式地說，（上同調型的）譜序列是一族雙分次模 E_r^{p,q}（r ≥ r_0），每一族配有微分 d_r : E_r^{p,q} -> E_r^{p+r, q-r+1}，滿足 d_r ∘ d_r = 0，並附有把 E_{r+1} 等同於 (E_r, d_r) 之同調的同構。指標 r 是頁碼；翻到下一頁意味著對當前微分取同調。在良好條件下（例如第一象限），微分最終消失，各頁穩定到極限 E_∞，於是稱譜序列收斂到分次模 H，意即 E_∞^{p,q} 是 H^{p+q} 上某個濾過的相伴分次。

兩大來源是濾過複形與雙複形；二者都產生譜序列，其 E_2 頁可計算，其極限即所求同調。經典實例包括把空間的上同調與底空間及纖維的上同調相聯繫的勒雷譜序列、用於擴張之群上同調的 Lyndon–Hochschild–Serre 譜序列，以及用於複合函子之導出函子的 Grothendieck 譜序列。誠實的告誡：譜序列只算出答案的相伴分次，故擴張問題仍須親手解決，方能精確還原出 H。