轉置的秩

這是第一門課中最不動聲色卻最驚人的事實之一：一個矩陣與它的轉置秩相同。等價地說，行空間的維數等於列空間的維數——行秩等於列秩。僅憑元素本身，看不出列與行為何應當一致，然而它們總是一致。

對偶幾乎不用計算就解釋了緣由。對線性映射 T : V -> W，其轉置 T* : W* -> V* 滿足 rank T = rank T*。理由：T* 的像是 T 的核的零化子（在典範等同之下），於是借 dim U + dim U^0 = dim V 計數維數，便迫使兩個秩相等。

用矩陣來讀：rank T 是 A 的行秩（行空間維數），而 rank T* 是 A^T 的行秩，也就是 A 的列秩。於是「rank T = rank T*」一經翻譯，就字面地是「行秩 = 列秩」。列與行那神秘的對稱，不過是一個映射與其對偶的對稱。

這正是認真對待對偶的回報：一條看似計算巧合的定理，變成了一行字的結構性推論。它還能乾淨地推廣到無限維、以及沒有方便矩陣的映射上，那裡初等列化簡的論證根本不適用。