核-像對偶

對一個線性映射取對偶，會以一種精確而優美的方式互換核與像。對 T : V -> W 及其轉置 T* : W* -> V*，T* 的核恰是 T 的像的零化子：ker(T*) = (im T)^0。W 上的泛函 g 被 T* 殺死，當且僅當 g 在 T 所能到達的一切上取零。

另有一條反向的伴生恒等式：im(T*) = (ker T)^0，轉置的像是 T 的核的零化子。這兩條方程合起來，就是你在矩陣那裡見過的「四個基本子空間」——行空間、零空間、列空間、左零空間——的對偶形式，如今看作彼此的零化子。

它們僅由配對的定義即可推出。g 屬於 ker T* 即 T* g = 0，即對所有 v 有 <T* g, v> = 0，即對所有 v 有 <g, T v> = 0，即 g 在 im T 上取零——這就是 g 屬於 (im T)^0 的陳述。證明不過是把 <g, T v> = <T* g, v> 展開一次；無座標，無列化簡。

回報是概念上的統一。T x = b 的可解性（b 是否在 im T 中？）變成關於泛函的問題（是否每個 ker T* 中的 g 都滿足 g(b) = 0？）。這種「Fredholm 擇一」的味道——恰當明顯障礙消失時方可解——是對偶提供的最可復用的思想之一，並能完好地延續到無限維。