線性映射的轉置

每個線性映射 T : V -> W 都誘導出一個在對偶之間反向運行的映射，稱為它的轉置（或對偶映射）T* : W* -> V*。其配方是前複合：給定 W 上的泛函 g，你先作用 T 再作用 g，便得到 V 上的一個泛函。用符號寫，T*(g) = g 與 T 的複合，故 (T*g)(v) = g(T v)。

仔細看箭頭方向：T 走 V -> W，而 T* 走 W* -> V*。取對偶會翻轉箭頭。這不是記賬上的怪癖，而正是「測量輸出」的含義。若 g 測量 W 中之物，則 g-接-T 測量 V 中之物，即「先作用 T，再測量」。

當你把一切都寫在對偶基下時，T* 的矩陣恰是 T 的矩陣 A 的轉置 A^T。於是「把矩陣沿對角線翻折」這一不起眼的操作，被揭示為一種不依賴座標、不依賴基的構造。轉置一直都是個真正的映射；翻折後的矩陣不過是它的影子。

轉置與複合及恒等配合良好：(S T)* = T* S*（注意次序顛倒），且恒等映射的轉置仍是恒等。這些函子性法則讓你能一次性對整張映射圖取對偶，四子空間對偶與各秩相等便由此落地。