彼得-外爾定理

彼得-外爾定理是把有限群特徵標理論搬到緊群——如圓周或旋轉群 SO(3) 這樣的連續對稱群——之上的橋梁。它說儘管這種群是無限的，你仍可用有限維的不可約碎片搭起它的全部表示論，而這些碎片的矩陣元足夠豐富，能逼近群上任何合理的函數。

設 G 是帶哈爾測度的緊（豪斯多夫拓撲）群，哈爾測度即典範的平移不變機率測度。彼得-外爾定理有幾個相互交織的部分。其一，每個有限維表示完全可約，且每個不可約酉表示有限維。其二，不可約表示的矩陣係數——形如 g -> (rho(g) 的某個元) 的函數——在一致範數下張成連續函數 C(G) 的稠密子空間。其三，也是最精確的，L^2(G) 分解為對各不可約表示 rho 的希爾伯特空間直和，每個 rho 出現 (dim rho) 份，標準正交基由縮放的矩陣係數給出。

這恰好推廣了有限情形：在那裡群代數 C[G] 扮演 L^2(G) 的角色，哈爾測度即歸一化的計數測度，而該分解就是正則表示的阿廷-韋德伯恩分解。對圓周群 U(1)，不可約表示是特徵標 z -> z^n（n 為整數），彼得-外爾特化為傅里葉基的完備性——經典傅里葉級數正是最簡單緊群上的彼得-外爾定理。