泰特上同调

泰特上同调把有限群的同调与上同调融合成由全体整数（正与负）标号的单一序列。通常上同调住在非负次，同调住在非正次；在零次它们几乎相遇，却因范数映射而不一致。泰特的想法是恰好在那条接缝处把二者拼接起来、用范数修补错位，从而得到一套优雅理论，它双向延伸并平等地对待两半。

对有限群 G 与 G 模 A，泰特上同调群 Ĥ^n(G, A) 对所有 n 属于 Z 有定义。对 n >= 1 它们等于通常的上同调 H^n(G, A)；对 n <= -2 它们等于同调，Ĥ^n(G, A) = H_{-n-1}(G, A)。在接缝处，Ĥ^0(G, A) = A^G / N(A) 是不动点模范数 N = 对 g 求和的 g 之像，而 Ĥ^{-1}(G, A) = ker(N) / I·A 是范数核模增广子模。一个完全（双向无限）分解使这一切统一。

泰特上同调是类域论的自然居所：互反同构、泰特–中山定理，以及布饶尔群的计算都住在这里。它的标志性特征是对循环群的周期性：若 G 循环，则对所有 n 有 Ĥ^n(G, A) ≅ Ĥ^{n+2}(G, A)，故整个双向无限序列仅由两个群 Ĥ^0 与 Ĥ^{-1} 决定，二者之比即埃尔布朗商。