PID 上有限生成模的结构定理

这是整门学科的总定理。它说：PID R 上任何有限生成模 M 都能拆成尽可能简单的零件——一个自由部分（若干份 R 自身）加上有限个循环挠模之和，而且这种分解本质上唯一。一旦有了它，两大典范形都只是推论，而非新定理。

结论有两种等价形式。不变因子形式：M 同构于 R^r 加 R/(d1) 加 R/(d2) 加 … 加 R/(dk)，其中 d1 | d2 | … | dk。初等因子形式：M 同构于 R^r 加上若干 R/(p^e) 之和，每个素方幂一份。整数 r 是自由秩；诸 d_i 是不变因子；诸 p^e 是初等因子。

把 R 特化为 F[x]，把 M 取为通过 T 视作 F[x]-模的有限维 V。则 V 是挠模（r = 0），循环零件 R/(f_i) 恰好是带友矩阵作用的循环子空间，两种形式就分别成为有理标准形（不变因子）和约当形（初等因子，在分裂域上）。它真的是一条戴着两顶帽子的定理。

两点诚实的提醒。自由秩 r 唯一，不变因子也唯一，但拆成循环直和项只在同构意义下唯一——你实际挑出的那些子模并不典范。还有，结论需要有限生成：去掉它，就会冒出无限秩或不可分解的模。