挠模

模里的一个元素若被某个非零环标量零化——存在非零 r 使 r . m = 0——就叫挠元素。在向量空间里这绝不会发生（你无法用非零标量杀死非零向量，因为标量可逆），所以挠是落到环上才出现的全新现象。挠模就是其中每个元素都是挠元素的模。

在 PID 上挠元素总构成一个子模，即挠子模，而结构定理把模干净地分成自由部分加挠部分。挠部分是循环零件 R/(d_i) 之和；自由部分 R^r 是无挠的。一个模是挠模，恰当其自由秩 r 为零。

对算子图景这是关键观察：有限维空间 V 通过 T 视作 F[x]-模时，永远是挠模。理由：由凯莱-哈密顿定理（或仅凭有限维）特征多项式 p 满足 p(T) = 0，所以非零标量 p(x) 零化每个向量。没有自由部分，这正是 V 纯粹分解成友矩阵/约当块而无剩余的原因。

一点澄清：挠说的是被某个标量杀死，不是被每个标量杀死。而对照词“无挠”比“自由”弱——在 Z 上有理数 Q 无挠但不自由。在 PID 上，有限生成且无挠确实蕴含自由，这正是干净分裂得以可能的原因。