循环模

循环模是最简单的一类模：它由单个元素生成。取一个元素 g；如果模里每个元素都是某个环标量乘以 g，那这个模就是循环的，g 是它的生成元。它是“由单个向量张成的过原点直线”的模类比，只不过标量现在来自一个环。

每个循环模都长得像环的一个商：M = R . g 同构于 R/(I)，其中 I 是 g 的零化子——把 g 杀掉的那些环元素的集合。在 PID 上这个理想是主理想，I = (d)，所以 M 同构于 R/(d)，由单个元素 d 决定。元素 d 就是该循环模的全部指纹。

在算子情形 R = F[x] 下，循环模恰好就是循环子空间 Z(v, T)：取 g = v，F[x]-作用就是轨道 v、Tv、T^2 v、…。零化多项式 d 就是 T 在该子空间上的极小多项式，T 限制到它上面就是友矩阵 C(d)。所以一个循环模对应一个友矩阵块。

要点：结构定理说每个有限生成 PID-模都是循环模的直和。所以循环模就是原子，把 R/(d) 彻底弄懂就是把整个分类弄懂。注意循环模可以很大——“单生成”说的是生成元的个数，不是维数。