友矩阵

取任意首一多项式 f(x) = x^n + c(n-1) x^(n-1) + … + c1 x + c0。友矩阵是为它量身打造的矩阵，其特征多项式——以及极小多项式——恰好就是 f。它是以 f 为唯一结构指纹的最简单矩阵，也是构造有理标准形的那块砖。

标准布局把 1 放在次对角线上，把 f 的系数取负后竖排在最后一列：C(f) 在主对角线正下方有一串 1，最后一列自上而下读作 -c0、-c1、…、-c(n-1)（有些教材把它转置到最后一行）。无论哪种，C(f) 都是 T 限制到循环子空间后，在基 v、Tv、…、T^(n-1) v 下的矩阵。

它的威力在于把抽象关系 T^n v = -c0 v - c1 Tv - … 直接翻译成矩阵元素。在纸上看到一个友矩阵块，你立刻就能读出它编码的多项式，反之亦然——多项式与矩阵成了同一对象的两种视角。

当心转置约定：常见布局有四种（系数放最后一行还是最后一列、1 在次对角线还是上对角线）。它们彼此相似，故编码同一个多项式，但字面元素不同——比较矩阵前先对齐你的来源。