友矩阵

给定任意首一多项式 p(x) = x^n + c_(n-1) x^(n-1) + ... + c_1 x + c_0，友矩阵 C(p) 是一个特定的 n 阶矩阵，专为把 p 实现为算子而构造。你在次对角线上放 1，把取负的系数写进最后一列（或最后一行，视约定而定）。它就是被设计得使其代数恰好匹配该多项式的矩阵。

它的标志性特征引人注目：C(p) 的特征多项式与极小多项式都等于 p。所以对你所选的任意首一多项式，都存在一个算子，其全部特征故事——特征值、它们的完整重数、一切的一切——皆由 p 支配，且极小多项式与特征多项式重合。这恰恰发生于 C(p) 是循环的：单个向量 e_1 在 C 的反复作用下生成整个空间。

此处 char = min 的原因是循环结构。向量 e_1, C e_1, C^2 e_1, ..., C^(n-1) e_1 线性无关（它们本质上就是标准基），故没有次数低于 n 的多项式能零化 C。因此极小多项式次数为 n，而它又总整除 n 次的特征多项式，逼得二者相等。

它为何重要：友矩阵证明了每个首一多项式都是某人的特征多项式；它们是有理标准形的构件（有理标准形把不变因子的友块堆叠起来）；它们还把 n 阶线性递推或常微分方程转化为可用矩阵方法攻击的一阶系统。