不变因子

不变因子是完全刻画算子（在相似意义下）的那一小串多项式——它们是算子在基域上的完整指纹。把不变因子交给别人，他就能精确重建这个算子（在相似意义下作为矩阵）；两个算子相似当且仅当它们有相同的这串列表。

它们形成一条整除链 f1 | f2 | … | fk，都是首一多项式，每个整除下一个，且次数都至少为 1。整除性正是关键：它把列表逼成唯一、有序的形状，毫无歧义。乘积 f1 f2 … fk 等于特征多项式，而最后（最大）的 fk 等于极小多项式。

它们从何而来？它们是矩阵 xI - A 在多项式环 F[x] 上的史密斯标准形中（除单位以外的）对角元素。用模的语言等价地说，它们就是把 V 作为 F[x]-模做结构定理分解时出现的不变因子。两条路都通向同一串典范列表。

一个微妙却关键的事实：扩大域不会改变不变因子。这正是相似与域无关的原因——指纹是用 F[x] 上的行列变换算出来的，从不需要特征值或扩域。