初等因子

如果说不变因子是粗粒度的指纹，那么初等因子就是把同样的信息砸碎到素原子。把每个不变因子分解成不可约（素）多项式的方幂，再把所有这些素方幂连同重数收集起来：这一袋素方幂就是初等因子列表。

形式地说：把每个 f_i 在 F 上分解成不可约因子 f_i = p1^(e1) p2^(e2) …，初等因子就是横跨所有不变因子出现的每一个单独因子 p^e。由于诸 f_i 形成整除链，你可以从初等因子唯一地反推出不变因子——两串列表携带完全相同的内容，只是重新组织过。

它们的招牌作用：在代数闭域上每个不可约因子都是线性的，p = x - lambda，于是每个初等因子都是 (x - lambda)^e——而这恰好是特征值 lambda 的一个 e 阶约当块。所以初等因子就是约当块。在一般域上，某些不可约因子次数更高，每个初等因子则给出单个友矩阵（或准素）块。

提醒：初等因子依赖于域，因为何为不可约取决于域。在实数域上 x^2 + 1 是素的；在复数域上它分裂成 (x-i)(x+i)。所以扩域时初等因子可能进一步细分，尽管不变因子不变。