有理形与约当形

有理标准形与约当标准形是同一台机器的两种输出，区别只在于用哪种货币结算。RCF 由不变因子和友矩阵块搭成，在任意域上都行；JCF 由初等因子搭成，只活在使特征多项式完全分解的域上（代数闭域，或至少分裂域）。

顺着模的图景走一遍。结构定理给 V 两种描述：不变因子形式给出 RCF 的友矩阵块，而初等因子形式在分裂域上给出块 (x - lambda)^e。每个这样的块就是特征值 lambda 处一个 e 阶约当块。所以初等因子与约当块字面上是同一份数据；一旦特征值存在，JCF 就是围绕它们重组的 RCF。

实际权衡：当你有特征值时 JCF 更透明——你直接读出诸 lambda，而矩阵的幂、指数、函数在近对角块上都好算。RCF 更稳健——它从不离开基域，从不需要开根，因而是 Q、有限域或任何你拒绝扩域时的正确工具。

一个干净的把握方式：在 C 上两种形式携带完全相同的信息，可以自由互换。在 R 或 Q 上，JCF 可能根本不存在（想想没有实特征值的旋转），而 RCF 总存在。当实矩阵有复特征值时，它的 RCF 用一个二次友矩阵块，而 JCF 本会需要一个复的 2x2 约当块。