相似与域无关

这是一条惊人又有用的定理：若两个元素在域 F 中的矩阵，在你把 F 扩大到更大的域 K 之后变得相似，那么它们一开始在 F 上就已经相似了。升到更大的域永远造不出新的相似关系——你在高处发现的，在基域底下早已为真。

确切地说：设 A、B 元素在 F 中，并设存在元素在 K（F 的某个扩域）中的可逆矩阵 P 使 P^-1 A P = B。结论是：存在这样一个元素都在 F 中的 P。换基矩阵可以被带回基域。

证明是有理标准形的一行推论。不变因子由 xI - A 的史密斯标准形算出，只用到 F 上多项式的最大公因式——而这些运算在过渡到 K 时不变。所以 A 与 B 在 F 上有相同不变因子，当且仅当它们在 K 上有相同不变因子。相同不变因子意味着相同 RCF，意味着在 F 上相似。

为何令人安心：它意味着你在自己的本域上做的相似分类就是最终答案；你永远不必担心某个奇异扩域会偷偷合并两个类。与之对照的是可对角化，它确实依赖于域——一个矩阵可以在 R 上不可对角化却在 C 上可对角化。但相似本身是会下降的。