有理标准形的存在唯一性

这条定理让有理标准形值得在意。它一次说两件事：存在性——任意域 F 上有限维空间上的每个算子都相似于一个有理标准形矩阵；唯一性——这个 RCF 是唯一的（不变因子，从而友矩阵块的排布，完全由算子决定）。

存在性来自把结构定理用到作为 F[x]-模的 V 上：V 分裂成循环模 F[x]/(f1) 加 … 加 F[x]/(fk) 的直和，且 f1 | f2 | … | fk，在每个循环零件里取自然基就把 T 变成友矩阵的分块对角阵。唯一性来自不变因子的唯一性，它们正是 xI - A 的史密斯标准形对角元——子式的最大公因式，故与基无关。

把两半合起来，你就得到相似的完全不变量：A 与 B 在 F 上相似，当且仅当它们有完全相同的不变因子，等价地有相同的 RCF。无需特征值、无需可对角化假设、无需代数闭域——它在 Q、R、有限域，任何域上都一致成立。

关于唯一性的一点精确提醒。不变因子列表（从而 RCF）是唯一的，但实现该分解的那些循环子空间并不唯一——唯一的只是它们的同构类型。所以唯一性是关于那个典范矩阵的陈述，而非关于分解子空间的典范选择。