有理标准形

约当形固然美妙，却有点取巧：它要求特征值真的存在，这就逼你在复数域上工作（或某个使特征多项式完全分解的域）。有理标准形是诚实的替代方案。它能在任意域上——有理数、实数、有限域——为任意算子给出一个标准的分块对角矩阵，全程不计算任何特征值，也不离开你出发的那个域。

具体地说，有限维空间 V 上的每个算子 T 都相似于唯一的分块对角矩阵，它的块是多项式 f1、f2、…、fk 的友矩阵 C(f1)、C(f2)、…、C(fk)，且满足 f1 | f2 | … | fk（每个整除下一个）。这些多项式就是 T 的不变因子，友矩阵块沿对角线排列。“有理”一词的意思是：它只用原矩阵元素上的四则运算造出来——不开根，不扩域。

它的重要性在于它是相似的真正典范形：域 F 上两个矩阵在 F 上相似，当且仅当它们有完全相同的有理标准形。所以 RCF 彻底解决了相似问题，而且做到与域无关——你升到更大的域时答案不变。

关于名字的一点提醒：“有理”指的是留在基域内，而非特指有理数。在复数域上 RCF 依然存在；只是那里通常不如约当形方便，因为在能用特征值时友矩阵块比约当块更臃肿。